평면도형과 입체도형

중학수학 도형공식 총정리                    Pasya(소희아빠)

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1. 평면도형의 넓이

삼각형의 넓이	[eqn: S= 1 over 2 ah ~(a`:`밑변,~h`:`높이)]
원 주	[eqn: l=2 pi r]
원의 넓이	[eqn: S=pi r^2]
호의 길이	[eqn: & l=2 pi r times {x Deg} over 360 #&``(r`:반지름, ``{x Deg}:중심각)`]
부채꼴의 넓이	[eqn: S= pi r^2 times {x Deg} over 360 = bold {1 over 2 rl}# ~(l`:`호의`길이)]
중심각의 크기 (원뿔)	[eqn: {밑면의~반지름의~길이} over 모선의~길이 times 360 Deg]
평행사변형의 넓이	[eqn: S=ah~ (a`:`밑변,~h`:`높이)]
사다리꼴의 넓이	[eqn: &S= (a+b) over 2 h #&``(a`:윗변,``b`:밑변,``h`:높이)`]

2. 입체도형의 겉넓이와 부피

[eqn: (V``:`부피,~S``:`겉넓이,~h``:`높이,~r``:`반지름)]

도 형	겉 넓 이	부 피
각기둥	[eqn: S=밑넓이 times 2 + 옆넓이]	[eqn: &V=Sh #&~(S`:`밑넓이)]
원기둥	[eqn: S=2 pi r (r+h)``]	[eqn: V=pi r^2 h`]
뿔	[eqn: S=pi r^2 +pi r l~(l`:`모선)]	[eqn: V = 1 over 3 pi r^2 h`]
구	[eqn: S=4 pi r ^2]	[eqn: V= 4 over 3 pi r^3 `]

3. 도형의 관찰

(1) 한붓 그리기

한붓그리기가 홀수점이 0개 또는 2개인 경우에만 가능하다.

◆ 홀수점이 0개	출발점과 도착점이 같다.
◆ 홀수점이 2개	출발점과 도착점이 다르다.

(2) 오일러의 공식

[eqn: (`v``:``점의```수,~e``:``선의```수~f``:``면의```수`)`]

형 태	공 식
수 형 도	[eqn: bold {v-e=1}`]
평 면 도 형	[eqn: bold {v-e+f``=1`}]
구와 연결상태가 같은 다면체	[eqn: bold {v-e+f``=2`}]
튜브와 연결상태가 같은 다면체	[eqn: bold {v-e+f``=0`}]
꼭지점, 모서리끼리 만나는 두 다면체	[eqn: bold {v-e+f``=3`}]

두 직선이 꼬인 위치에 있다 : 두 직선이 한 평면 위에 있지 않고 만나지 않는다

4. 도형의 성질

(1) 다각형의 성질

[eqn: n] 각형의 내각의 크기의 합	[eqn: 180 Deg times (n-2)]
[eqn: n] 각형의 대각선의 총수	[eqn: {n(n-3)} over 2]
다각형의 외각의 합	[eqn: 360 Deg]
정[eqn: n] 각형의 한 내각의 크기	[eqn: {180 Deg times (n-2)} over n`]
정[eqn: n] 각형의 한 외각의 크기	[eqn: {360 Deg} over n]

(2) 삼각형의 성질

① 삼각형의 두 변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 크다.

② 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 [eqn: 180 Deg]이다.

③ 삼각형의 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않는 두 내각의  크기의 합과 같다.

(3) 삼각형의 합동조건

① SSS ( 세 변의 길이가 같은 삼각형 )

② SAS ( 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 삼각형 )

③ ASA ( 한 변의 길이와 그 양끝 각이 같은 삼각형 )

(4) 직각삼각형의 합동조건

① RHS ( 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같을 때 )

② RHA ( 빗변의 길이와 다른 한 예각의 크기가 같을 때 )

(5) 이등변 삼각형의 정의 및 성질

① 두 변의 길이가 같은 삼각형(정의)

② 두 밑각의 크기가 같다(성질)

③ 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.(성질)

(6) 직각삼각형의 성질

① [eqn: rm bar AB ^2 = bar BH ․ bar BC``]

② [eqn: rm bar AC ^2 = bar CH ․ bar CB``]

③ [eqn: rm bar AH ^2 = bar BH ․ bar CH``]

④ 빗변의 중점(외심)에서 세 꼭지점에 이르는 거리가 같다.

(7) 삼각형의 내심과 외심

① 내심(내접원의 중심) : 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점. 내심에서 변에 이르는 거리가 같다.

② 외심(외접원의 중심) : 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점. 외심에서 세 꼭지점에 이르는 거리가 같다.

외심의 위치는 예각삼각형은 내부에, 직각삼각형은 빗변의 중점에, 둔각감각형은 외부에 있다.

(8) 여러 가지 사각형의 정의 및 성질

① 사다리꼴 : 한 쌍의 대변이 평행한 사각형.(정의)

② 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 평행한 사각형(정의)

㉠ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.(성질)

㉡ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.(성질)

㉢ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.(성질)

㉣ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.(성질)

③ 마름모 : 네 변의 길이가 같다.(정의)

㉠ 두 대각선은 서로 직교한다.(성질)

④ 직사각형 : 네 각의 크기가 같다.(정의)

㉠ 두 대각선의 길이가 서로 같다.(성질)

⑤ 정사각형 : 네 변의 길이와 네 각의 크기가 각각 같다.(정의)

5. 도형의 닮음

(1) 삼각형의 닮음 조건

① SSS (세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때)

[eqn: bold {a over a' = b over b' = c over c'}]

② SAS (두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때)

[eqn: bold {a over a' = c over c' ,~~ rm angle B = angle B'}]

③ AA (두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때)

[eqn: rm bold {angle B = angle B',~~angle C = angle C'}]

(2) 각의 이등분선에 관한 정리

[eqn: rm bold {bar AB ~:~ bar AC = bar BD ~:~ bar CD }``]

(3) 삼각형의 중점연결 정리

[eqn: rm bold {bar MN `ꁚ bar BC`, ``bar MN = 1 over 2 bar BC}`]

(4) 사다리꼴의 중점연결 정리

[eqn: rm bold {bar MN = bar ME + bar EN = 1 over 2 (bar AD + bar BC ``)}# rm bold {bar EF = bar MF - bar ME = 1 over 2 (bar BC - bar AD ``)}``]

(5) 삼각형의 무게 중심

① 중선 : 한 꼭지점에서 그 대변의 중점에 이은 선분

② 중선의 성질 : 삼각형의 넓이를 이등분한다.

③ 무게중심 : 삼각형의 세 중선의 교점

④ 무게중심의 성질(G)

㉠ 세 중선의 길이를 꼭지점으로부터 2:1로 나눈다.

㉡ 세 중선으로 삼각형의 넓이는 6등분된다.

㉢ 무게 중심과 세 꼭지점을 이으면 삼각형의 넓이는 3등분된다.

㉣ 세 중선은 한 점에서 만난다.

(6) 직각삼각형의 무게 중심

[eqn: rm bold {bar BE = bar AE = bar CE = 1 over 2 bar AC}``]

[eqn: rm bold {bar BG = 2 over 3 bar BE = 2 over 3 ․ 1 over 2 bar AC }``]

[eqn: rm bold { = 1 over 3 bar AC}``]

◆ 직각삼각형의 직각인 꼭지점에서 빗변에 그은 중선의 길이는 빗변의 길이의 [eqn: bold {1 over 2}]이다.

(7) 닮음의 활용(닮음비가 [eqn: m``:``n] 일 때)

길 이 의 비	[eqn: bold {m~:``n}]
넓 이 의 비	[eqn: bold {m^2~ :``n^2}]
부 피 의 비	[eqn: bold {m^3~ :``n^3}]

피타고라스 정리

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중학수학 도형공식 총정리                    Pasya(소희아빠)

(1) 피타고라스 정리

[eqn: rm △ABC`]에서

[eqn: bold {angle rm A =90 Deg 일~ 때, it ~a^2 =b^2 +c^2}``]

(2) 정리 증명

① [eqn: rm △ABF = △BCE`]

[eqn: rm =△ABE = △BFL``]

② [eqn: rm □ BFGC`]

[eqn: rm = □ ADEB + □ ACHI``]

③ [eqn: rm □ BFML = □ ABED``]

④ [eqn: rm □ CGML = □ AIHC``]

⑤ [eqn: rm bar BC ``^2 = bar AB `^2 + bar AC ``^2``]

(3) 삼각형의 각과 변의 관계

① [eqn: rm angle A`＜`90 Deg](예각)이면 [eqn: a^2 `＜`b^2 +c^2 `]

② [eqn: rm angle A=90 Deg](직각)이면 [eqn: a^2 =b^2 +c^2 `]

③ [eqn: rm angle A`＞`90 Deg](둔각)이면 [eqn: a^2 `＞`b^2 +c^2 `]

(4) 대각선이 직교하는 사각형

[eqn: rm bold {bar AB^2 + bar CD^2 = bar BC^2 +bar AD^2`}]

(5)정삼각형의 높이([eqn: h`])와 넓이([eqn: S`])

[eqn: bold { h = sqrt 3 over 2 a `}]     [eqn: bold {S= sqrt 3 over 4 a^2 }]

(6) 좌표평면에서 두 점 사이의 거리

[eqn: bold {d = sqrt {(x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2 }`}]

(7) 직육면체의 대각선의 길이

[eqn: bold {l = sqrt {a^2 +b^2 +c^2 }``}]

정육면체의 대각선의 길이   [eqn: bold {l_1 = sqrt 3 a }]

(8) 정사각뿔의 높이와 부피

[eqn: bold { h=sqrt {b^2 - 1 over 2 a^2 }}]  ,     [eqn: bold {V = 1 over 3 a^2 h}]

([eqn: a`:`밑면모서리,~~b`:` 옆모서리,~~h`:`높이``])

(9) 정사면체의 높이와 부피

[eqn: bold {h= sqrt 6 over 3 a}] ,  [eqn: bold {V= sqrt 2 over 12 a^3 }]

(9) 원뿔의 높이와 부피

[eqn: bold {h= sqrt {l^2 -r^2}}] ,  [eqn: bold {V= 1 over 3 pi r^2 h }]

원

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1. 원과 직선

(1) 중심각에 대한 호와 현

한 원 또는 합동인 두 원에서, 같은 크기의 두 중심각에 대한 호의 길이와 현의 길이는 각각 같다.

(2) 중심과 현

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다.

원의 한 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다.

[eqn: rm bold {bar OM ⊥ bar AB ~ ⇔~ bar AM = bar BM}``]

(3) 현의 길이

한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.

한 원에서 길이가 같은 현은 중심에서 같은 거리에 있다.

[eqn: rm bold {bar OM = bar ON ~ ⇔~ bar AB = bar CD}``]

(4) 접선과 반지름

원의 접선은 그 접점과 원의 중심을 연결한 선분(반지름)에 수직이다.

반지름과 원이 만나는 점에서 그 반지름에 수직으로 그은 직선은 그 원의 접선이다.

(5) 접선의 길이

원의 외부에 있는 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.

(6) 두 원의 위치 관계

(두 원의 반지름의 길이를 각각

[eqn: r,~r`'~ (r``＜``r`' )], 중심거리 [eqn: d``] )

한 원이 다른 원의 외부에 있을 때	[eqn: bold { r + r`' ＜`d`}]
두 원이 외접할 때	[eqn: bold { r + r` =d`}]
두 원이 두 점에서 만날 때	[eqn: bold { r - r`' ＜`d`＜`r + r`' `}]
두 원이 내접할 때	[eqn: bold { r`' - r =d`}]
한 원의 다른 원의 내부에 있을 때	[eqn: bold { r`' - r ＞`d`}]
두 원이 동심원 일 때	[eqn: bold { d =0}]

(7) 두 원과 중심선

두 원이 만날 때, 중심선은 공통현을 수직이등분한다.

두 원이 접할 때, 접점은 중심선 위에 있다.

(8) 공통접선의 길이

① 공통외접선의 길이

[eqn: bold { l = sqrt {d`^2 - (r`' - r ) ^2 }`}]

② 공통내접선의 길이

[eqn: bold { l = sqrt {d`^2 - (r`' + r ) ^2 }`}]

(9) 원에 외접하는 사각형의 성질

[eqn: rm bold {bar AB + bar CD = bar BC + bar DA`}]

(10) 삼각형의 방심

삼각형의 한 내각과 다른 두 각의 외각의 이등분선과의 교점

[eqn: rm bold {bar AB + bar BC + bar CA` }]

[eqn: rm bold {=` 2 bar AE` =` 2 bar AF`}]

2. 원과 각

(1) 원주각과 중심각의 크기

한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 [eqn: 1 OVER 2]이다.

[eqn: rm bold {angle AOB = 2 angle APB}``]

(2) 원주각의 정리

한 원 또는 합동인 원에서 같은 크기의 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.

원주각의 정리의 역

두 점 [eqn: rm C`]와 [eqn: rm P`]가 직선[eqn: rm AB`]에 대하여 같은 쪽에 있고 [eqn: rm angleACB = angleAPB`]이면, 이 네 점  [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rm P`]는 한 원 위에 있다.

(3) 원주각과 호

한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같다.

같은 크기의 원주각에 대한 호의 길이는 서로 같다.

(4) 원에 내접하는 사각형

한 쌍의 대각의 크기의 합은 [eqn: 180°]이다.

한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.

[eqn: bold {angle x + angle y =180 Deg}]

[eqn: bold {angle a + angle b = 180 Deg}]

(6)접선과 현이 이루는 각

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.

[eqn: rm bold {angle BAT = angle ACB}```]

(7)삼각형의 수심

삼각형의 세 꼭지점에서 대변에 내린 세 수선이 한 점에서 만난 점

수심의 위치는 예각삼각형은 내부에, 직각삼각형은 직각인 꼭지점에, 둔각감각형은 외부에 있다.

3.  원과 비례

(1) 원에서의 비례관계

[eqn: rm bold {bar PA ․ bar PB = bar PC ․ bar PD}``]

(2) 네 점이 한 원 위에 있을 조건

[eqn: rm bold {bar PA ․ bar PB = bar PC ․ bar PD}``]

(3) 원의 외부의 한 점에서의 할선과 접선

[eqn: rm bold {bar PT^2 = bar PA ․ bar PB}``]

(4) 접선이 되는 조건

[eqn: rm bold {bar PT^2 = bar PA ․ bar PB}``]

◆ 이등변삼각형 ABC의 꼭지점 A를 지나는 직선이 밑변 BC와 점 P에서 만나고 이 삼각형의 외접원과는 점 Q에서 만날 때.

[eqn: rm bold {bar AP ․ bar AQ = bar AB^2}``]

[eqn: RM TRIANGLE ACQ`` ∽ TRIANGLE APC`]

삼각비

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(1) 삼각비의 값

[eqn: bold {(1)`sin B = b over c}# bold {(2)`cos B = a over c}# bold {(3)`tan B = b over a}`]

(2) 30°, 45°,60°의 삼각비의 값

삼각비 각(A)	30°	45°	60°
sin A	[eqn: bold {1 over 2}]	[eqn: bold {sqrt 2 over 2}]	[eqn: bold {sqrt 3 over 2}]
cos A	[eqn: bold {sqrt 3 over 2}]	[eqn: bold {sqrt 2 over 2}]	[eqn: bold {1 over 2}]
tan A	[eqn: bold {sqrt 3 over 3}]	[eqn: bold {1}]	[eqn: bold {sqrt 3}]

◆ [eqn: cases {bold {sin``` 0 Deg = 0``, ~sin 90 Deg =1}# bold {cos``` 0 Deg= 1``,~cos 90 Deg =0}`}]

(3) 삼각비 값의 대소

[eqn: &bold {(1)~~0 Deg ≦`x`＜`45 Deg ~~⇨~~sinx `＜`cosx}# &bold {(2)~~ x=45 Deg ~~~~~``~~⇨~~sinx=cosx}# &bold {(3)~~45 Deg ＜`x`≦`90 Deg ~⇨~~sinx `＞`cosx}# &bold {(3)~~0 Deg ＜`x`＜`90 Deg ~~⇨~~sinx `＜`tanx}]

(4) 여각의 삼각비

[eqn: &bold {(1)~sin A `= cos (90 Deg- A)}# &bold {(2)~cos A = sin` (90 Deg- A)}# &bold {(3)~tan A = 1 over {tan (90 Deg- A)}}]

[eqn: cases {&bold {(1)~tan A= sinA over {cosA}}# &bold {(2)~sin^2 A + cos^2 A =1}}]

(5) 삼각형의 넓이

두 변과 그 끼인각([eqn: bold {angle B`}])이 주어졌을 때.

[eqn: bold {(1) ~ angle B` ＜`90 Deg}]	[eqn: bold {S= 1 over 2 ac~sin B`}]
[eqn: bold {(2) ~ angle B=90 Deg}]	[eqn: bold {S= 1 over 2 ac`}]
[eqn: bold {(3) ~ angle B` ＞`90 Deg}]	[eqn: bold {S= 1 over 2 ac~sin (180 Deg-B)`}]

(6) 평행사변형의 넓이

[eqn: bold {S=ab`` sin B}``]

(7) 일반사각형의 넓이

[eqn: bold {S= 1 over 2 ab`` sin RM alpha}``]